Question

7．P是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上的一點，F(xiàn)₁、F₂分別是左右焦點，若|PF₁|=3|PF₂|，則過點P的橢圓的切線的斜率是（　　）

• A． $±\sqrt{2}$
• B． $±\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義求出|PF₂|=1，結(jié)合橢圓的焦半徑公式，求出P的橫坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù) 的幾何意義即可求出切線斜率．

解答 解：在$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$中，a²=4，b²=2，c²=a²-b²=4-2=2，
則c=$\sqrt{2}$，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵|PF₁|=3|PF₂|，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴4|PF₂|=4，則|PF₂|=1，
設(shè)P（x₀，y₀），
則由|PF₂|=a-ex₀=1，
得2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀=1，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀=1，得x₀=$\sqrt{2}$，則設(shè)P（x₀，y₀），
若P為第一象限的點，
則y=$\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}$，
則y′=-$\frac{x}{2\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}}$，
當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，切線斜率k=f′（$\sqrt{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2•\sqrt{2-\frac{2}{2}}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
若P為第四象限的點，
則y=-$\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}$，
則y′=$\frac{x}{2\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}}$，
當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，切線斜率k=f′（$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2•\sqrt{2-\frac{2}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故過點P的橢圓的切線的斜率是$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)條件的定義結(jié)合焦半徑公式求出P點的橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．