Question

12．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，拋物線上一點A的橫坐標(biāo)為x₁（x₁＞0），過點A作拋物線C的切線
l₁交x軸于點D，交y軸于點Q，當(dāng)|FD|=2時，∠AFD=60°．
（1）求證：FD垂直平分AQ，并求出拋物線C的方程；
（2）若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上，過點B作拋物線C的切線l₂交直線l₁于點P，AB交y軸于點（0，m），若∠APB為銳角，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），求出切線AD的方程，推出|PQ|，通過|FD|=2時，∠AFD=60°求出p=2，拋物線方程．
（2）設(shè)B（x₂，y₂）（x₂＜0）則B處的切線方程為$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}$，聯(lián)立直線橢圓方程組，求出P的坐標(biāo)；
法一：利用∠APB為銳角，數(shù)量積大于0，直線AB過（0，m），推出m的取值范圍．
法二：令y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+m\end{array}\right.$借助韋達(dá)定理，數(shù)量積的關(guān)系，推出$\left\{\begin{array}{l}m-1＞0\\ 4{m^2}-4m＞0\end{array}\right.⇒m＞1$

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），則切線AD的方程為：y=$\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，
所以D（$\frac{{x}_{1}}{2}，0$），Q（0，-y₁）；|PQ|=$\frac{P}{2}+{y}_{1}$，$|{FA}|=\frac{p}{2}+{y_1}$，
所以|FQ|=|FA|，
且D為AQ中點，所以DF⊥AQ，
∵|DF|=2，∠AFD=60°，
∴$∠QFD={60°}，\frac{p}{2}=1$，得p=2，
拋物線方程為x²=4y
（2）設(shè)B（x₂，y₂）（x₂＜0）則B處的切線方程為$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}$
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{2}x-\frac{x_1^2}{4}\\ y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}\end{array}\right.⇒p（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}）$，
法一：$\overrightarrow{PA}=（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}（{x_1}-{x_2}）}}{4}），\overrightarrow{PB}=（\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}，\frac{{{x_2}（{x_2}-{x_1}）}}{4}）$，
∵∠APB為銳角，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-\frac{{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}}{4}-\frac{{{x_1}{x_2}{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}}{16}＞0⇒{x_1}{x_2}＜-4$
直線AB：$y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{{\frac{x_1^2}{4}-\frac{x_2^2}{4}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x\right.\left.{-{x_1}}）⇒y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}（x-{x_1}）$
將（0，m）代入的$m=-\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}＞1$，∴m的取值范圍為（1，+∞）．
法二：令y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+m\end{array}\right.$得x²-4kx-4m=0x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m
∴$P（2k，-m），\overrightarrow{PA}=（{x_1}-2k，{y_1}+m），\overrightarrow{PB}=（{x_2}-2k，{y_2}+m）$
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{x_1}-2k）（{x_2}-2k）+（{y_1}+m）（{y_2}+m）=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}$+（2km-2k）（x₁+x₂）+4k²+4m²=4（m-1）k²+4m²-4m＞0對任意k恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}m-1＞0\\ 4{m^2}-4m＞0\end{array}\right.⇒m＞1$

點評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，斜率的數(shù)量積的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與分析問題解決問題的能力．