Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}$，若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)B_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和，其中${b_n}={2^{a_n}}$，若不等式$\frac{{{B_n}-t{b_n}}}{{{B_{n+1}}+t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，試求正實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$，能求出a_n=3n．
（Ⅱ）先求出${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}$=$\frac{n+2}{2n}$，再求出{T_n}中的最大值為${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）由${b_n}={2^{3n}}=8{\;}^n⇒{B_n}=\frac{{8（1-{8^n}）}}{1-8}=\frac{8}{7}（8{\;}^n-1）$，由此能求出正實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{（n-1）^2}+\frac{3}{2}（n-1）$，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n，…（2分）
又n=1時(shí)，a₁=S₁=3滿(mǎn)足上式，
∴a_n=3n．…（3分）
（Ⅱ）${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{9n（n+1）}{2^n}$$⇒\frac{{{T_{n+1}}}}{T_n}=\frac{{\frac{9（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}}}{{\frac{9n（n+1）}{2^n}}}=\frac{n+2}{2n}$，…（4分）
當(dāng)n=1，2時(shí)，T_n+1≥T_n，
當(dāng)n≥3時(shí)，n+2＜2n⇒T_n+1＜T_n，
∴n=1時(shí)，T₁=9，n=2，3時(shí)，${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，n≥4時(shí)，T_n＜T₃，
∴{T_n}中的最大值為${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$．…（6分）
要使T_n≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需$\frac{27}{2}≤m$，
∴$m≥\frac{27}{2}$．…（7分）
（Ⅲ）${b_n}={2^{3n}}=8{\;}^n⇒{B_n}=\frac{{8（1-{8^n}）}}{1-8}=\frac{8}{7}（8{\;}^n-1）$，…（8分）
將B_n代入$\frac{{{B_n}-t{b_n}}}{{{B_{n+1}}+t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，化簡(jiǎn)得，$\frac{{\frac{8}{7}×（{{8^n}-1}）-t×{8^n}}}{{（{\frac{8}{7}+t}）{8^{n+1}}-\frac{8}{7}}}＜\frac{1}{16}$（*）
∵t＞0，∴$（{\frac{8}{7}+t}）{8^{n+1}}＞\frac{8}{7}$，…9分
∴（*）化為$\frac{8}{7}[{16×（{{8^n}-1}）-{8^{n+1}}+1}]＜3t×{8^{n+1}}$，
整理得$t＞\frac{{8[{16×（{{8^n}-1}）-{8^{n+1}}+1}]}}{{21×{8^{n+1}}}}$，…（10分）
∴$t＞\frac{8}{21}（{1-\frac{15}{{{8^{n+1}}}}}）$對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立，…（11分）
∵$1-\frac{15}{{{8^{n+1}}}}$隨n的增大而增大，且$\frac{8}{21}（{1-\frac{15}{{{8^{n+1}}}}}）＜\frac{8}{21}$，
∴$t≥\frac{8}{21}$．．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用，是難題．