Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a（a≠-2），a_n+1=2S_n+2ⁿ，n∈N^•．
（Ⅰ）設(shè)b_n=S_n+2ⁿ．求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過S_n+1-S_n=a_n+1計算可知S_n+1=3S_n+2ⁿ，進而計算可知數(shù)列{b_n}是以a+2為首項、3為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）通過（I）可知S_n=（a+2）•3^n-1-2ⁿ，并與S_n-1=（a+2）•3^n-2-2^n-1（n≥2）作差可知a_n=（a+2）•2•3^n-2-2^n-1（n≥2），利用數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列化簡、整理即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：由題意可知S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+2ⁿ，
即S_n+1=3S_n+2ⁿ，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{S}_{n+1}+{2}^{n+1}}{{S}_{n}+{2}^{n}}$=$\frac{3{S}_{n}+3•{2}^{n}}{{S}_{n}+{2}^{n}}$=3，
又∵a≠-2，即a+2≠0，
∴數(shù)列{b_n}是以a+2為首項、3為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（I）可知，S_n+2ⁿ=b₁•3^n-1=（a+2）•3^n-1，
∴S_n=（a+2）•3^n-1-2ⁿ，
S_n-1=（a+2）•3^n-2-2^n-1（n≥2），
兩式相減得：a_n=（a+2）•2•3^n-2-2^n-1（n≥2），
又∵a₁=a不滿足上式，且數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴a₂-a₁=a+2＞0，即a＞-2，
且a_n+1-a_n=（a+2）•2•3^n-1-2ⁿ-（a+2）•2•3^n-2+2^n-1＞0（n≥2），
即4（a+2）•3^n-2＞2^n-1，化簡得a+2＞$\frac{9}{8}$•$（\frac{2}{3}）^{n}$，即a＞-$\frac{3}{2}$，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a＞-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，涉及數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．