Question

7．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），若點(diǎn)B（x，y）為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x≥1\\ y≥x\end{array}\right.$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值是6．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x≥1\\ y≥x\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得M（2，2），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B（x，y）為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，
∴z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2x+y，
化為y=-2x+z，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過M時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．