Question

2．如圖，AB是圓O的直徑，C為圓周上一點，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E．
（1）求證：AB•DE=BC•CE；
（2）若AB=8，BC=4，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接BE，OC，OC∩BE=F，證明△EDC∽△BCA，即可證明AB•DE=BC•CE；
（2）證明四邊形EFCD是矩形，△OBC是等邊三角形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BE，OC，AC，OC∩BE=F，則
∵CD是圓O的切線，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC，
∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BE，
∵AD⊥l，∴l(xiāng)∥BE，
∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，
∵∠EDC=∠BCA=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{CE}{DE}$，
∴AB•DE=BC•CE；
（2）解：由（1）可知四邊形EFCD是矩形，
∴DE=CF，
∵圓O的直徑AB=8，BC=4，
∴∠ABC=60°
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠EBA=30°，AE=4．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．