Question

1．已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（1）若f（x）在x=1處有極值，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當a=1，$x∈[\frac{1}{e}，e]$時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（1）=0，f′（x）=a-1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可得到函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由已知得f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=ax-lnx，∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=0，
f′（1）=a-1=0，∴a=1，
經(jīng)檢驗，a=1時，f（x）在x=1處有極值，
∴f（x）=x-lnx，令f′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，解得x＞1或x＜0，
∵f（x）的定義域為（0，+∞），∴f′（x）＞0的解集為（1，+∞），
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）a=1時，f（x）=x-lnx，令f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．f（x）的單調(diào)增減區(qū)間為（0，1）．
x=1時函數(shù)取得最小值：f（1）=1
f（e）=e-1，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+1，
當a=1，$x∈[\frac{1}{e}，e]$時，f（x）的值域為：[1，e-1]．

點評 本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，轉(zhuǎn)化思想等綜合解題能力．