1.已知f(x)=ax-lnx,a∈R.
(1)若f(x)在x=1處有極值,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)a=1,$x∈[\frac{1}{e},e]$時,求f(x)的值域.

分析 (1)由已知得f′(1)=0,f′(x)=a-1,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最值即可得到函數(shù)的值域.

解答 解:(1)由已知得f(x)的定義域為(0,+∞),
∵f(x)=ax-lnx,∴f′(x)=a-$\frac{1}{x}$,
∵f(x)在x=1處有極值,∴f′(1)=0,
f′(1)=a-1=0,∴a=1,
經(jīng)檢驗,a=1時,f(x)在x=1處有極值,
∴f(x)=x-lnx,令f′(x)=1-$\frac{1}{x}$>0,解得x>1或x<0,
∵f(x)的定義域為(0,+∞),∴f′(x)>0的解集為(1,+∞),
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).
(2)a=1時,f(x)=x-lnx,令f′(x)=1-$\frac{1}{x}$,
f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).f(x)的單調(diào)增減區(qū)間為(0,1).
x=1時函數(shù)取得最小值:f(1)=1
f(e)=e-1,f($\frac{1}{e}$)=$\frac{1}{e}$+1,
當(dāng)a=1,$x∈[\frac{1}{e},e]$時,f(x)的值域為:[1,e-1].

點評 本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,同時考查推理論證能力,轉(zhuǎn)化思想等綜合解題能力.

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