Question

18．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸的方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程以及對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5}{12}$π，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）對(duì)稱軸的方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
令2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，解得x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
此時(shí)函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]；
（Ⅲ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[-$\sqrt{3}$+1，3]；
即函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$+1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心等性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．