Question

10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}$．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡已知可得：$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{{\sqrt{3}cosB}}$，求得$tanB=\sqrt{3}$，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由范圍$A∈（0，\;\frac{2π}{3}）$，可得$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{6}）$，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，\;1]$，即可得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理：$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{{\sqrt{3}cosB}}$，
∴$tanB=\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$．               …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$sinA+sinC=sinA+sin（A+\frac{π}{3}）$=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$A∈（0，\;\frac{2π}{3}）$，∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，\;1]$，
∴$sinA+sinC∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\sqrt{3}]$．                  …（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．