Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為棱D₁C₁的中點．設(shè)AM與平面BB₁D₁D的交點為O，則（　�。�

• A． 三點D₁，O，B共線，且OB=2OD₁
• B． 三點D₁，O，B不共線，且OB=2OD₁
• C． 三點D₁，O，B共線，且OB=OD₁
• D． 三點D₁，O，B不共線，且OB=OD₁

Answer 1

分析 【解法一】連接AD₁，BC₁利用公理2可直接證得，并且由D₁M∥AB可得1：2，從而求出結(jié)果；
【解法二】根據(jù)題意，以正方體的頂點D為坐標(biāo)原點，DA所在的直線為x軸，
DC所在的直線為y軸，DD₁所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，求出點O的坐標(biāo)，
證明向量$\overrightarrow{BO}$與$\overrightarrow{{BD}_{1}}$共線，且$\overrightarrow{BO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{BD}_{1}}$，即得D₁，O，B三點共線，OB=2OD₁．

解答 解：【解法一】如圖1，
連接AD₁，BC₁，
利用公理2可直接證得，
并且由D₁M∥AB且D₁M=$\frac{1}{2}$AB，
∴OD₁=$\frac{1}{2}$BO，
∴D₁，O，B三點共線，
且OB=2OD₁．
【解法二】以正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點D為坐標(biāo)原點，DA所在的直線為x軸，
DC所在的直線為y軸，DD₁所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體的棱長為1，

則A（1，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），M（0，$\frac{1}{2}$，1）；
設(shè)點O（x，x，z），
∴$\overrightarrow{AO}$=（x-1，x，z），$\overrightarrow{AM}$=（-1，$\frac{1}{2}$，1）；
又$\overrightarrow{AO}$與$\overrightarrow{AM}$共線，∴$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AM}$，
∴（x-1，x，z）=（-λ，$\frac{1}{2}$λ，λ），
即$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-λ}\\{x=\frac{1}{2}λ}\\{z=λ}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{z=λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴點O（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
∴$\overrightarrow{BO}$=（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
又$\overrightarrow{{BD}_{1}}$=（-1，-1，1），
∴$\overrightarrow{BO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{BD}_{1}}$，
∴D₁，O，B三點共線，且OB=2OD₁．
故選：A．

點評 本題考查了利用空間向量求證三點共線的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理能力與空間想象能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．