Question

5．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；
（1）求證：CD⊥平面ADD₁A₁
（2）現(xiàn)將與四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼接成的新的四棱柱形狀完全相同，則視為同一種拼接方案；問(wèn)：共有幾種不同的方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫(xiě)出f（k）的表達(dá)式（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析 （1）取DC的中點(diǎn)E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥DC，利用線面垂直的判定定理即可證明．
（2）由題意可與左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，A₁B₁C₁D₁拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫(xiě)出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出f（k）．

解答 （1）證明：取DC的中點(diǎn)E，連接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE²+EC²=（4k）²+（3k）²=（5k）²=BC²，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AD=A，∴CD⊥平面ADD₁A₁．
（2）解：由題意可與左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，A₁B₁C₁D₁拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．
寫(xiě)出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出f（k）=$\left\{\begin{array}{l}{72{k}^{2}+26k，0＜k≤\frac{5}{18}}\\{36{k}^{2}+36k，k＞\frac{5}{18}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線線、線面的位置關(guān)系、柱體的定義積表面積、勾股定理的逆定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力．