13.符合以下性質(zhì)的函數(shù)稱為“S函數(shù)”:①定義域?yàn)镽,②f(x)是奇函數(shù),③f(x)<a(常數(shù)a>0),④f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,⑤對任意一個(gè)小于a的正數(shù)d,至少存在一個(gè)自變量x0,使f(x0)>d.下列四個(gè)函數(shù)中${f_1}(x)=\frac{2a}{π}arctanx$,${f_2}(x)=\frac{ax|x|}{{{x^2}+1}}$,${f_3}(x)=\left\{{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{x}}&{x>0}\\ 0&{x=0}\\{-a-\frac{1}{x}}&{x<0}\end{array}}\right.$,${f_4}(x)=a•({\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}})$中“S函數(shù)”的個(gè)數(shù)為( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

分析 逐個(gè)判斷函數(shù)是否符合新定義的5個(gè)條件.

解答 解:(1)∵f1(x)=$\frac{2a}{π}$arctanx的定義域?yàn)镽,∵-$\frac{π}{2}$<arctanx$<\frac{π}{2}$,∴f1(x)的值域?yàn)椋?a,a),∵f1(x)是奇函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f1(x)是S函數(shù),
(2)f2(x)=$\frac{ax|x|}{{x}^{2}+1}$的定義域?yàn)镽,∵-1<$\frac{x|x|}{{x}^{2}+1}$<1,∴f2(x)的值域是(-a,a),∵f2(-x)=$\frac{-ax|x|}{{x}^{2}+1}$=-f2(x),∴f2(x)是奇函數(shù),
當(dāng)x>0時(shí),f2(x)=$\frac{a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=a-$\frac{a}{{x}^{2}+1}$,∵a>0,∴f2(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).∴f2(x)是S函數(shù).
(3)由解析式可知f3(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x>0時(shí),a-$\frac{1}{x}$<a,當(dāng)x<0時(shí),-a-$\frac{1}{x}$>-a,∴f3(x)的值域是R,不符合條件③,∴f3(x)不是S函數(shù).
(4)f4(x)的定義域?yàn)镽,∵$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,2x>0,∴-1<$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$<1,∴f4(x)的值域是(-a,a).f4(-x)=a•$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=a•$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f4(x).∴f4(x)是奇函數(shù).
∵f4(x)=a(1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$),∴f4(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).∴f4(x)是S函數(shù).
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的定義域,奇偶性,值域,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知函數(shù)f(x)=a|x|(a>0,a≠1)在區(qū)間(-∞,0)上為增函數(shù),且對任意x∈[m,m+1],不等式f(x+m)≤f2(x)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.m≤-$\frac{3}{2}$B.m≤-3C.m≤-$\frac{2}{3}$D.m≤-$\frac{3}{4}$

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4.不等式$\frac{2-3x}{x-1}>0$的解集為( 。
A.$(-∞,\frac{3}{4})$B.$(-∞,\frac{2}{3})$C.$(-∞,\frac{2}{3})∪(1,+∞)$D.$(\frac{2}{3},1)$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)=loga(x2-3x+2),g(x)=log2(2x2-5x+2)(a>0,且a≠1),若f(x)>g(x),求x的取值范圍.

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8.已知函數(shù)f(x)=-$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$)+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度,再向下平移m(m>0)個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的最大值為$\sqrt{2}$.
①求函數(shù)g(x)的解析式;
②函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[a,b](a,b∈R且a<b)上至少含有30個(gè)零點(diǎn),在滿足條件的上述條件[a,b]中,求b-a的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.若復(fù)數(shù)z滿足$\frac{z\;}{1+i}={i^{2015}}+{i^{2016}}$(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z=2.

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5.若函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;2{\;^x}-a\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤1\;,\;\;\\({x-a})({x-3a})\;,\;\;\;\;x>1\end{array}\right.$恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$({\frac{1}{3},\;\;1}]∪({2,\;\;+∞})$.

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2.要使$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ=$\frac{m-6}{2-m}$有意義,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.(4,+∞)B.[4,+∞)C.[8,+∞)D.(8,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)=ln2x-2aln(ex)+3,x∈[e-1,e2]
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x)≤-alnx+4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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