Question

13．符合以下性質(zhì)的函數(shù)稱為“S函數(shù)”：①定義域?yàn)镽，②f（x）是奇函數(shù)，③f（x）＜a（常數(shù)a＞0），④f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，⑤對任意一個(gè)小于a的正數(shù)d，至少存在一個(gè)自變量x₀，使f（x₀）＞d．下列四個(gè)函數(shù)中${f_1}（x）=\frac{2a}{π}arctanx$，${f_2}（x）=\frac{ax|x|}{{{x^2}+1}}$，${f_3}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{x}}&{x＞0}\\ 0&{x=0}\\{-a-\frac{1}{x}}&{x＜0}\end{array}}\right.$，${f_4}（x）=a•（{\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}}）$中“S函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 逐個(gè)判斷函數(shù)是否符合新定義的5個(gè)條件．

解答 解：（1）∵f₁（x）=$\frac{2a}{π}$arctanx的定義域?yàn)镽，∵-$\frac{π}{2}$＜arctanx$＜\frac{π}{2}$，∴f₁（x）的值域?yàn)椋?a，a），∵f₁（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f₁（x）是S函數(shù)，
（2）f₂（x）=$\frac{ax|x|}{{x}^{2}+1}$的定義域?yàn)镽，∵-1＜$\frac{x|x|}{{x}^{2}+1}$＜1，∴f₂（x）的值域是（-a，a），∵f₂（-x）=$\frac{-ax|x|}{{x}^{2}+1}$=-f₂（x），∴f₂（x）是奇函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f₂（x）=$\frac{a{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=a-$\frac{a}{{x}^{2}+1}$，∵a＞0，∴f₂（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．∴f₂（x）是S函數(shù)．
（3）由解析式可知f₃（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，a-$\frac{1}{x}$＜a，當(dāng)x＜0時(shí)，-a-$\frac{1}{x}$＞-a，∴f₃（x）的值域是R，不符合條件③，∴f₃（x）不是S函數(shù)．
（4）f₄（x）的定義域?yàn)镽，∵$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，2^x＞0，∴-1＜$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＜1，∴f₄（x）的值域是（-a，a）．f₄（-x）=a•$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=a•$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f₄（x）．∴f₄（x）是奇函數(shù)．
∵f₄（x）=a（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），∴f₄（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．∴f₄（x）是S函數(shù)．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的定義域，奇偶性，值域，屬于中檔題．