Question

8．若f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，$f（x）=-\frac{1}{4^x}+\frac{1}{2^x}$，則f（x）的值域是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 設(shè)t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，利用換元法求得當(dāng)x≥0時函數(shù)的值域，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)x≤0時函數(shù)的值域，然后求并集可得答案．

解答 解：設(shè)t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，當(dāng)x≥0時，2^x≥1，∴0＜t≤1，
f（t）=-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴0≤f（t）≤$\frac{1}{4}$，
故當(dāng)x≥0時，f（x）∈[0，$\frac{1}{4}$]；
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x≤0時，f（x）∈[-$\frac{1}{4}$，0]；
故函數(shù)的值域時[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．
故答案為：[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了函數(shù)值域的求法，運用換元法求得x≥0時函數(shù)的值域是解答本題的關(guān)鍵．