Question

當(dāng)x∈[1，∞）時(shí)，下列不等式恒成立的是（　　）

• A、lnx≤1-

  1

  x

• B、lnx≤

  2(x-1)

  x+1

• C、lnx≤

  1

  2

  （x-

  1

  x

  ）
• D、lnx≥x-1

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)于不等式不成立的利用特殊值法進(jìn)行排除，對(duì)于成立的不等式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明．

解答： 解：A．當(dāng)x=e時(shí)，lnx≤1-

1

x

不成立．
B．若x=9，則

2(x-1)

x+1

=

2×8

10

=1.6，ln9＞2，此時(shí)B不成立．
C．設(shè)f（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=

-x2+2x-1

2x2

=

-(x-1)2

2x2

≤0，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[1，∞）時(shí)，f（x）≤f（1）=0，
即lnx≤

1

2

（x-

1

x

）成立．
D．當(dāng)x=e時(shí)，lne=1，e-1＞1，此時(shí)不等式lnx≥x-1不成立．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)或者特殊值法是解決本題的關(guān)鍵．