Question

定義在R上的函數(shù)g(x)及二次函數(shù)h(x)滿足：g(x)＋2g(－x)＝e^x＋－9，h(－2)＝h(0)＝1且h(－3)＝－2.

(1)求g(x)和h(x)的解析式；

(2)對于x₁，x₂∈[－1,1]，均有h(x₁)＋ax₁＋5≥g(x₂)－x₂g(x₂)成立，求a的取值范圍；

(3)設f(x)＝在(2)的條件下，討論方程f[f(x)]＝a＋5的解的個數(shù)情況．

Answer 1

解：(1)∵g(x)＋2g(－x)＝e^x＋－9，①

∴g(－x)＋2g(x)＝e^－x＋－9，即g(－x)＋2g(x)＝2e^x＋－9，②

由①②聯(lián)立解得，g(x)＝e^x－3.

∵h(x)是二次函數(shù)，且h(－2)＝h(0)＝1，可設h(x)＝ax(x＋2)＋1，

由h(－3)＝－2，解得a＝－1，

∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x²－2x＋1，

∴g(x)＝e^x－3，h(x)＝－x²－2x＋1.

(2)設φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x²＋(a－2)x＋6，

F(x)＝g(x)－xg(x)＝e^x－3－x(e^x－3)＝(1－x)e^x＋3x－3，

依題意知，當－1≤x≤1時，φ(x)_min≥F(x)_max.

∵F′(x)＝－e^x＋(1－x)e^x＋3＝－xe^x＋3，在[－1,1]上單調(diào)遞減，

∴F′(x)_min＝F′(1)＝3－e>0，

∴F(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增，∴F(x)_max＝F(1)＝0，

∴解得－3≤a≤7，

∴實數(shù)a的取值范圍為[－3,7]．

(3)設t＝a＋5，由(2)知，2≤t≤12.

f(x)的圖象如圖所示：

設f(x)＝T，則f(T)＝t.

當t＝2，即a＝－3時，T＝－1或者T＝ln 5，f(x)＝－1有2個解，f(x)＝ln 5有3個解；

當2<t<e²－3，即－3<a<e²－8時，T＝ln(t＋3)且ln 5<T<2，f(x)＝T有3個解；

當t＝e²－3，即a＝e²－8時，T＝2，f(x)＝T有2個解；

當e²－3<t≤12，即e²－8<a≤7時，T＝ln(t＋3)>2，f(x)＝T有1個解．

綜上所述：

當a＝－3時，方程有5個解；

當－3<a<e²－8時，方程有3個解；

當a＝e²－8時，方程有2個解；

當e²－8<a≤7時，方程有1個解．