Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R），若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，求g（x）=f（x）-kx最小值h（k）；
（3）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0． 再由f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）可得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=^{2}-4a=0\end{array}\right.$，由此求得a、b的值，即可求得f（x）的表達(dá)式．
（2）因?yàn)間（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{k-2}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，分類討論給定區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，可得g（x）=f（x）-kx最小值h（k）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，則$\frac{k-2}{2}$≥2 或$\frac{k-2}{2}$≤-2時(shí)，解得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（-1）=0，所以a-b+1=0．
因?yàn)閒（x）的值域?yàn)閇0，+∞），所以 $\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=^{2}-4a=0\end{array}\right.$，
可得 b²-4（b-1）=0，
解得b=2，a=1，
所以f（x）=x²+2x+1；
（2）因?yàn)間（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{k-2}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線；
當(dāng)$\frac{k-2}{2}$≤-2，即k≤-2時(shí)，g（x）在[-2，2]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值h（k）=2k+1；
當(dāng)-2＜$\frac{k-2}{2}$＜2，即-2＜k＜6時(shí)，g（x）在[-2，$\frac{k-2}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{k-2}{2}$，2]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=$\frac{k-2}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值h（k）=$\frac{4k-{k}^{2}}{4}$；
當(dāng)$\frac{k-2}{2}$≥2，即k≥6時(shí)，g（x）在[-2，2]上為減函數(shù)，故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值h（k）=-2k+9；
綜上所述，g（x）=f（x）-kx最小值h（k）=$\left\{\begin{array}{l}2k+1，k≤-2\\ \frac{4k-{k}^{2}}{4}，-2＜k＜6\\-2k+9，k≥6\end{array}\right.$
（3）由（2）中g(shù)（x）函數(shù)圖象是以直線x=$\frac{k-2}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線；
若g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，
則$\frac{k-2}{2}$≥2 或$\frac{k-2}{2}$≤-2時(shí)，
解得k∈（-∞，-2]∪[6，+∞），
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．