Question

16．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，且所有棱長(zhǎng)均相等，M為A₁C₁的中點(diǎn)，則直線CM和直線A₁B所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形找出異面直線CM與A₁B所成的角，再求該角的余弦值．

解答 解：如圖所示，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，所有棱長(zhǎng)均相等，
取AC的中點(diǎn)N，連接A₁N，
∵M(jìn)為A₁C₁的中點(diǎn)，
∴MC∥A₁N，
∴∠BA₁N是直線CM與A₁B所成的角，
設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，
則A₁B=2$\sqrt{2}$，A₁N=$\sqrt{5}$，BN=$\sqrt{3}$，
且BN⊥平面ACC₁A₁，
∴BN⊥A₁N，
∴直線CM和直線A₁B所成角的余弦值為
cos∠BA₁N=$\frac{{A}_{1}N}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間想象力以及異面直線所成角的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目．