Question

8．已知橢圓的長軸為4，且以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的頂點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，一直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）．求：
（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得a=2，求得雙曲線的頂點(diǎn)，可得c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線AB：y-1=k（x-1），即為y=kx+1-k，代入橢圓方程x²+2y²=4，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和弦長公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
即有a=2，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的頂點(diǎn)為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
橢圓的焦點(diǎn)為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
可得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)直線AB：y-1=k（x-1），即為y=kx+1-k，
代入橢圓方程x²+2y²=4，
可得（1+2k²）x²+4k（1-k）x+2（1-k）²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{4k（1-k）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（1-k）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=-$\frac{4k（1-k）}{1+2{k}^{2}}$=2，
解得k=-$\frac{1}{2}$．x₁x₂=$\frac{1}{3}$，
則弦長AB為$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．