Question

15．已知集合$A=\{x|\frac{2x-3a-1}{x-2a-2}＜1，a＞-3\}$，集合B={x|2cos2x+1≥0}
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求A∩B；
（Ⅱ）若$A∩B=[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件化簡(jiǎn)集合A，可得A=（a-1，2a+2），再根據(jù)$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，結(jié)合a=-2，求得A∩B．
（Ⅱ）根據(jù)A=（a-1，2a+2），$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，$A∩B=[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，考查集合端點(diǎn)間的大小關(guān)系求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{2x-3a-1}{x-2a-2}＜1⇒\frac{2x-3a-1}{x-2a-2}-1＜0⇒\frac{x-（a-1）}{x-（2a+2）}＜0$．
∵a＞-3，∴2a+2-（a-1）=a+3＞0，∴A=（a-1，2a+2）．
∴$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，
當(dāng)a=-2時(shí)，A=（-3，-2），∴$A∩B=（-3，-\frac{2π}{3}]$．
（Ⅱ）∵$A∩B=[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，A=（a-1，2a+2），$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2π}{3}≤a-1＜-\frac{π}{3}\\ \frac{π}{3}＜2a+2≤\frac{2π}{3}\end{array}\right.⇒a∈（\frac{π}{6}-1.1-\frac{π}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式不等式的解法，余弦函數(shù)的單調(diào)性，交集以及其運(yùn)算，屬于中檔題．