Question

9．若函數(shù)f（x）=sin²ax-$\sqrt{3}$sinax•cosax-$\frac{1}{2}$（a＞0）的圖象與直線y=b相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，且x₀是y=f（x）的零點(diǎn)，試寫出函數(shù)y=f（x）在[x₀，x₀+$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡解析式可得f（x）=$-sin（{2ax+\frac{π}{6}}）$，根據(jù)題意b為f（x）的最大值或最小值，可求b，由已知求周期后，根據(jù)周期公式即可求得a．
（Ⅱ）由題意知$sin（{4{x_0}+\frac{π}{6}}）=0$，則可求${x_0}=\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}（{k∈Z}）$，由$0≤\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}≤\frac{π}{2}（{k∈Z}）$得k的值，從而可分類討論得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）$f（x）={sin^2}ax-\sqrt{3}sinax•cosax-\frac{1}{2}=\frac{1-cos2ax}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ax-\frac{1}{2}$=$-sin（{2ax+\frac{π}{6}}）$
∵y=f（x）的圖象與直線y=b相切，
∴b為f（x）的最大值或最小值，即b=-1或b=1，
∵切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，
∴f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，即$T=\frac{2π}{{|{2a}|}}=\frac{π}{2}$，a＞0，
∴a=2，即$f（x）=-sin（{4x+\frac{π}{6}}）$；…（6分）
（Ⅱ）由題意知$sin（{4{x_0}+\frac{π}{6}}）=0$，則$4{x_0}+\frac{π}{6}=kπ（{k∈Z}）$，
∴${x_0}=\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}（{k∈Z}）$，由$0≤\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}≤\frac{π}{2}（{k∈Z}）$得k=1或k=2，
因此${x_0}=\frac{5π}{24}$或${x_0}=\frac{11π}{24}$．
當(dāng)${x_0}=\frac{5π}{24}$時，y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{\frac{5π}{24}，\frac{π}{3}}]$和$[{\frac{7π}{12}，\frac{17π}{24}}]$，
當(dāng)${x_0}=\frac{11π}{24}$時，y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{\frac{7π}{12}，\frac{5π}{6}}]$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．