Question

11．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：
（1）（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}$）≥9；
（2）$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab+1}$≥$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用a+b=1，代入化簡(jiǎn)可知（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}$）=5+2（$\frac{a}$+$\frac{a}$），進(jìn)而利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）利用a+b=1，代入化簡(jiǎn)可知$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab+1}$=$\frac{3}{ab+1}$-2，進(jìn)而利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：（1）（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}$）=1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$
=1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{a+b}{ab}$
=1+$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$
=1+2（$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}$）
=5+2（$\frac{a}$+$\frac{a}$）
≥5+2×2$\sqrt{\frac{a}×\frac{a}}$
=9（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$即a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)）；
（2）$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab+1}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab+1}$
=$\frac{1-2ab}{ab+1}$
=$\frac{3-2（ab+1）}{ab+1}$
=$\frac{3}{ab+1}$-2，
∵ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{3}{ab+1}$-2≥$\frac{3}{\frac{1}{4}+1}$-2=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab+1}$≥$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．