Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，$\frac{{2S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$，n∈N^*．
（I）求證：{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，c_n=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{{2}^{n-1}}$，是否存在實數(shù)λ，對于任意n∈N^*．使T_n＞（-1）ⁿλ恒成立？若存在，求出λ范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的定義即可證明；
（II）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵$\frac{{2S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$，n∈N^*，即2S_n=na_n+1-$\frac{1}{3}{n}^{3}$-n²-$\frac{2}{3}n$，
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）a_n-$\frac{1}{3}（n-1）^{3}$-（n-1）²-$\frac{2}{3}$（n-1），
可得：2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
化為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，首項為1，公差為1，
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，解得a_n=n²．
（II）解：c_n=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=-1+0+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$-\frac{1}{2}$+0+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
假設(shè)存在實數(shù)λ，對于任意n∈N^*．使T_n＞（-1）ⁿλ恒成立，
則-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$＞（-1）ⁿλ，
n為偶數(shù)時，λ＜-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
n為奇數(shù)時，$λ＞\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
因此不成立，即不存在實數(shù)λ，對于任意n∈N^*．使T_n＞（-1）ⁿλ恒成立．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義及其通項公式、“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式、分類討論方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．