Question

2．在△ABC中，A，B，C角對(duì)邊分別為a，b，c．且3acosB=bcosC+ccosB．
（1）求sinB的值．
（2）若b=4，且a=c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)求得sinB的值．
（2）利用余弦定理先求出a，c的值，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵3acosB=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理，得3sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
∵A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，
∴sin（B+C）=sinA≠0，
∴sinA=3sinAcosB，
∴cosB=$\frac{1}{3}$．則sinB=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\sqrt{\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{1}{3}$．
∴b²=a²+c²-2accosB，
∵b=4，a=c，
∴16=a²+a²-2a²×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$a²，
則a²=12．則a=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$a²sinB=$\frac{1}{2}×12×$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．