Question

14．過雙曲線$M：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l．若l與雙曲線M兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且B是AC中點(diǎn)，則雙曲線M離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程可得A的坐標(biāo)和直線l的方程與雙曲線的漸近線聯(lián)立求得B和C的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)B是AC中點(diǎn)，求得b的值，即可求得c，最后根據(jù)離心率公式答案可得．

解答 解：由題可知A（-1，0），所以直線L的方程為y=x+1
兩條漸近線方程為y=-bx或y=bx
聯(lián)立y=x+1和y=-bx得B的橫坐標(biāo)為x_B=-$\frac{1}{b+1}$
同理得C的橫坐標(biāo)為x_C=$\frac{1}{b-1}$
∵B是AC中點(diǎn)，
∴2x_B=x_A+x_C，
即有-$\frac{1}{b+1}$•2=-1+$\frac{1}{b-1}$
解得b=3或0（舍去0）
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．