Question

4．對于函數(shù)f（x）=|sin2x|有下列命題：①函數(shù)f（x）的最小正周期是$\frac{π}{2}$；②函數(shù)f（x）圖象關于點（π，0）對稱；③函數(shù)f（x）圖象關于直線x=$\frac{π}{4}$對稱；④函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]上為減函數(shù)，其中正確命題的序號是①③．

Answer 1

分析 ①由f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x）判斷函數(shù)f（x）的最小正周期是$\frac{π}{2}$；
②由f（x）=|sin2x|≥0判斷f（x）不是關于點（π，0）對稱；
③由f（$\frac{π}{4}$）為函數(shù)的最大值，判斷f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{4}$對稱；
④由f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{3π}{4}$）判斷f（x）不滿足單調(diào)遞減．

解答 解：函數(shù)f（x）=|sin2x|，
對于①，f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin2（x+$\frac{π}{2}$）|=|sin（2x+π）|=|sin2x|=f（x），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期是$\frac{π}{2}$，①正確；
對于②，f（π）=|sin2π|=0，且f（x）=|sin2x|≥0，
但f（x）不是關于點（π，0）對稱，②錯誤；
對于③，f（$\frac{π}{4}$）=|sin（2×$\frac{π}{4}$）|=|sin$\frac{π}{2}$|=1為函數(shù)的最大值，
∴函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{4}$對稱，③正確；
對于④，f（$\frac{π}{2}$）=|sin（2×$\frac{π}{2}$）|=|sinπ|=0，
f（$\frac{3π}{4}$）=|sin（2×$\frac{3π}{4}$）|=|sin$\frac{3π}{2}$|=1，
∴f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{3π}{4}$），不滿足單調(diào)遞減，∴④錯誤．
綜上，正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用問題，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．