Question

16．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是BC和CC₁的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA₁=4，∠BAC=90°．
（Ⅰ） 求證：B₁D⊥平面AED；
（Ⅱ） 求二面角B₁-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AD}$=0，$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AE}$=0，利用直線與平面垂直的判定定理可證B₁D⊥平面AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分別求出平面AED和平面B₁AE一個(gè)法向量；利用空間兩個(gè)向量的夾角公式即可求出二面角B₁-AE-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
∵AB=AC=AA₁=4，
∴A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B₁（4，0，4），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{AD}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，4，2），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AD}$=-4+4+0=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{AD}$，即B₁D⊥AD，
∵$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AE}$=0+8-8=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{AE}$，即B₁D⊥AE，
又AD，AE?平面AED，且AD∩AE=A，
則B₁D⊥平面AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2，2，-4），為平面AED的一個(gè)法向量，
設(shè)平面B₁AE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，4，2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（4，0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{4y+2z=0}\\{4x+4z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得x=2，z=-2，即$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
∴cos（$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{B}_{1}D}$）=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{6}{\sqrt{9}×\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角二面角B₁-AE-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二面角及求法，直線與平面垂直的判定，鍛煉了學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力，熟練掌握二面角的求法及直線與平面垂直的判定方法是解本題的關(guān)鍵．