Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
則f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1-2}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
則f（x）在R上的單調(diào)性遞增，
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$-（1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$）=（$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{2（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}{（{e}^{{x}_{1}}+1）（{e}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${e}^{{x}_{1}}$＜${e}^{{x}_{2}}$，
∴${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)為增函數(shù)．
（3）若存在實(shí)數(shù)t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x∈[1，2]恒成立，
則f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x）．
即x²-t²≥t-x．
即x²+x≥t²+t恒成立，
設(shè)y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[1，2]，
∴y∈[2，6]，
即t²+t≤2，
即t²+t-2≤0．
解得-2≤t≤1，
即存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)-2≤t≤1時使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x∈[1，2]恒成立．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法以及定義法是解決本題的關(guān)鍵．