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10.已知函數(shù)f(x)=ex1ex+1
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)在R上的單調性,并用定義證明;
(3)是否存在實數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈[1,2]恒成立?若存在,求出t的取值范圍;若不存在,請說明理由.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f(x)的奇偶性;
(2)根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可判斷f(x)在R上的單調性,并用定義證明;
(3)結合函數(shù)奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化,利用參數(shù)分離法進行求解即可.

解答 解:(1)函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),
則f(-x)=ex1ex+1=1ex1+ex=-ex1ex+1=-f(x),
則f(x)為奇函數(shù).
(2)f(x)=ex1ex+1=ex+12ex+1=1-2ex+1,
則f(x)在R上的單調性遞增,
證明:設x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=1-2ex1+1-(1-2ex2+1)=(2ex2+1-2ex1+1)=2ex1ex2ex1+1ex2+1
∵x1<x2,
ex1ex2
ex1-ex2<0,
即f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),即函數(shù)為增函數(shù).
(3)若存在實數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈[1,2]恒成立,
則f(x2-t2)≥-f(x-t)=f(t-x).
即x2-t2≥t-x.
即x2+x≥t2+t恒成立,
設y=x2+x=(x+122-14,
∵x∈[1,2],
∴y∈[2,6],
即t2+t≤2,
即t2+t-2≤0.
解得-2≤t≤1,
即存在實數(shù)t,當-2≤t≤1時使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈[1,2]恒成立.

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷,以及不等式恒成立問題,利用參數(shù)分離法以及定義法是解決本題的關鍵.

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