Question

2．已知函數(shù)f（x）=x|2a-x|+2x，g（x）=2ax²+2x-3-a，a∈R．
（1）若a=0，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若a=2時，函數(shù)f（x）-m=0有兩個零點，求實數(shù)m的值；
（3）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=0，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性．
（2）求出f（x）的表達式，利用數(shù)形結合進行求解即可．
（3）討論a 是否為0，當a≠0時，考慮△=0的情況以及在[-1，1]上具有單調性用零點定理解決．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．
當a=0時，f（x）=x|x|+2x，
∴f（-x）=-x|x|-2x=-f（x），
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）若a=2時，f（x）=x|4-x|+2x=x|x-4|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+2x=（x-1）^{2}-1}&{x≥4}\\{-{x}^{2}+6x=-（x-3）^{2}+9，}&{x＜4}\end{array}\right.$，
由f（x）-m=0得f（x）=m，
作出f（x）的圖象如圖：
由圖象知當8≤m＜9時，直線x=m與f（x）有兩個不同的交點，
此時f（x）-m=0有兩個零點．
（3）若a=0，則g（x）=2x-3，令由g（x）=0得，x=$\frac{3}{2}$∉[-1，1]，不符題意，故a≠0，
當g（x）在[-1，1]上有一個零點時，此時$\left\{\begin{array}{l}△=4+8a（3+a）=0\\-1≤-\frac{1}{2a}≤1\end{array}\right.$或g（-1）•g（1）≤0
解得$a=\frac{{-3-\sqrt{7}}}{2}$或1≤a≤5，
當g（x）在[-1，1]上有兩個零點時，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4+8a（3+a）＞0}\\{-1＜-\frac{1}{2a}＜1}\\{g（-1）＞0，g（1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4+8a（3+a）＞0}\\{-1＜-\frac{1}{2a}＜1}\\{g（-1）＜0，g（1）＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞5或$a＜\frac{{-3-\sqrt{7}}}{2}$
故實數(shù)a的取值范圍為$（-∞，\frac{-3-\sqrt{7}}{2}]∪[1，+∞）$．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)方程與零點的應用以及二次函數(shù)與方程之間的關系，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的零點問題，要注意函數(shù)圖象與x軸相切的情況，屬于中檔題．