Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}x}&{x＞0}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f[f（x）]-1的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)，函數(shù)值的求法，分類(lèi)討論，分別代入得到相應(yīng)的方程的，解得即可．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+1，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+1，
當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，f（x）=x+1＞0
y=f[f（x）]-1=log₂（x+1）-1=0，即log₂（x+1）=1，解得x=1（舍去）
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=x+1≤0，
y=f[f（x）]+1=f（x）+1-1=x+1=0，
∴x=-1．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x，
y=f[f（x）]-1=log₂[f（x）]-1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=log₂x＜0，
y=f[f（x）]-1=log₂[f（x）]-1=log₂（log₂x+1）-1=0，
∴l(xiāng)og₂x-1=0，x=2（舍去）
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log₂x＞0，
∴y=f[f（x）]-1=log₂（log₂x）-1=0，
∴l(xiāng)og₂x=2，x=4．
綜上所述，y=f[f（x）]-1的零點(diǎn)是x=-1，或x=4，
∴則函數(shù)y=f[f（x）]-1的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
故答為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，以及函數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是分類(lèi)討論，屬于中檔題