Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)$（-\frac{π}{12}，0）$到其相鄰的一條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$．若$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，則函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．[-1，2]B．$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$C．$[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}]$D．$[-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$

Answer 1

分析 求出f（x）的表達(dá)式，從而求出f（x）在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)$（-\frac{π}{12}，0）$到其相鄰的一條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$，
∴函數(shù)的周期是π，ω=2，
由f（-$\frac{π}{12}$）=0，$f（\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{Asin[2（-\frac{π}{12}）+φ]=0}\\{Asin[2•\frac{π}{12}+φ]=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得A=$\sqrt{3}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7}{6}$π]，
顯然x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）最大，x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）最小，
則函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求三角函數(shù)的表達(dá)式問(wèn)題，考查三角函數(shù)的值域問(wèn)題，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．