Question

12．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
（1）計(jì)算：a₁，a₂，a₃；
（2）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式a_n；
（3）對(duì)任意正整數(shù)n均有不等式$\frac{{S}_{{a}_{n}}+{S}_{{a}_{n+1}}}{2}$≥λ${S}_{\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}}$恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，從而求得；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，從而作差化簡(jiǎn)可得a_n-a_n-1=2，從而證明并求通項(xiàng)公式；
（3）化簡(jiǎn)求得$\frac{{S}_{{a}_{n}}+{S}_{{a}_{n+1}}}{2}$=4n²+1，${S}_{\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}}$=S_2n=4n²，從而化為對(duì)任意正整數(shù)n均有不等式4n²+1≥4n²λ恒成立，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，4a₁=（a₁+1）²，
解得，a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，4（a₁+a₂）=（a₂+1）²，
解得，a₂=3，
當(dāng)n=3時(shí)，4（a₁+a₂+a₃）=（a₃+1）²，
解得，a₃=5；
（2）證明：由（1）知，a₁=1，a₂=3，a₃=5；
當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
∴4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1；
（3）∵4S_n=（a_n+1）²=（2n）²，
∴S_n=n²，
$\frac{{S}_{{a}_{n}}+{S}_{{a}_{n+1}}}{2}$=$\frac{{S}_{2n-1}+{S}_{2n+1}}{2}$=$\frac{（2n-1）^{2}+（2n+1）^{2}}{2}$=4n²+1，
${S}_{\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}}$=${S}_{\frac{2n-1+2n+1}{2}}$=S_2n=4n²，
∵對(duì)任意正整數(shù)n均有不等式$\frac{{S}_{{a}_{n}}+{S}_{{a}_{n+1}}}{2}$≥λ${S}_{\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{2}}$恒成立，
∴對(duì)任意正整數(shù)n均有不等式4n²+1≥4n²λ恒成立，
即λ≤$\frac{4{n}^{2}+1}{4{n}^{2}}$=1+$\frac{1}{4{n}^{2}}$恒成立，
故λ≤1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用及等差數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)思想的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題．