Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1．
（1）求|PF₁|+|PF₂|的取值范圍；
（2）試判斷直線$\frac{{x}_{0}}{2}$x+y₀y=1與橢圓C有幾個(gè)交點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)橢圓的定義得到|PF₁|+|PF₂|=2a，然后根據(jù)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1，得出點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，最后根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上時(shí)|PF₁|+|PF₂|最大，可確定答案；
（2）直接聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用判別式判斷．

解答 解：（1）由題意可知|PF₁|+|PF₂|=2a．
點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1，
得出點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，且與原點(diǎn)不重合，
∵當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上時(shí)|PF₁|+|PF₂|最大，
最大值為2a=2$\sqrt{2}$，而點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，
∴|PF₁|+|PF₂|＜2$\sqrt{2}$．
∵當(dāng)點(diǎn)P在線段F₁F₂上除原點(diǎn)時(shí)，|PF₁|+|PF₂|最小，最小值為2，
∴|PF₁|+|PF₂|≥2．
則|PF₁|+|PF₂|的取值范圍為[2，2$\sqrt{2}$）；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}}{2}x+{y}_{0}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-4{{y}_{0}}^{2}=0$．
△=$（-4{x}_{0}）^{2}-4（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）（4-4{{y}_{0}}^{2}）$=$16{{y}_{0}}^{2}（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2）$．
∵0＜$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²＜1，∴${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2＜0$．
則當(dāng)y₀=0時(shí)，△=0，直線$\frac{{x}_{0}}{2}$x+y₀y=1與橢圓C有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)y₀≠0時(shí)，直線$\frac{{x}_{0}}{2}$x+y₀y=1與橢圓C無交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是在區(qū)域的邊界上利用橢圓的定義，即橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和等于2a．對(duì)于（2）的求解，直接利用判別式法即可，是中檔題．