Question

4．已知定義域為R的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a，b的值；  
（2）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x+2）＞0對任意x≥1恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)便可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，這樣便可求出a=2，b=1；
（2）分離常數(shù)可以得到$f（x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2^x的單調(diào)性可以判斷出x增大時，f（x）減小，從而可判斷出f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性便可由f（k•3^x）+f（3^x-9^x+2）＞0得到（3^x）²-（k+1）•3^x-2＞0對于任意的x≥1恒成立，可設(shè)3^x=t，從而有t²-（k+1）t-2＞0對于任意的t≥3恒成立，可設(shè)g（t）=t²-（k+1）t-2，從而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{2}＜3}\\{g（3）=4-3k＞0}\end{array}\right.$，這樣解該不等式組便可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）在R上為奇函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{2+a}=0}\\{\frac{b-\frac{1}{2}}{1+a}=-\frac{b-2}{4+a}}\end{array}\right.$；
解得a=2，b=1；
（2）$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{2（{2}^{x}+1）}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
x增大時，2^x+1增大，$\frac{1}{{2}^{x}+1}$減小，f（x）減�。�
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，∴由f（k•3^x）+f（3^x-9^x+2）＞0得，f（k•3^x）＞f（9^x-3^x-2）；
又f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
∴k•3^x＜9^x-3^x-2，該不等式對于任意x≥1恒成立；
∴（3^x）²-（k+1）3^x-2＞0對任意x≥1恒成立；
設(shè)3^x=t，則t²-（k+1）t-2＞0對于任意t≥3恒成立；
設(shè)g（t）=t²-（k+1）t-2，△=（k+1）²+8＞0；
∴k應(yīng)滿足：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{2}＜3}\\{g（3）=4-3k＞0}\end{array}\right.$；
解得$k＜\frac{4}{3}$；
∴k的取值范圍為$（-∞，\frac{4}{3}）$．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，減函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)減函數(shù)的定義解不等式，換元法的運用，要熟悉二次函數(shù)的圖象．