10．已知函數(shù)f（x）=x2+2bx的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線l與直線x+y+3=0垂直，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2011的值為（　�。�
A．$\frac{2012}{2011}$B．$\frac{2010}{2011}$C．$\frac{2013}{2012}$D．$\frac{2011}{2012}$

分析 由條件利用函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得b的值，根據(jù)f（n）的解析式，用裂項(xiàng)法求得數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為Sn的值，可得S2011的值．

解答 解：由題意可得A（0，0），函數(shù)f（x）=x2+2bx的圖象在點(diǎn)A（0，0）處的切線l的斜率為0+2b=2b，
再根據(jù)l與直線x+y+3=0垂直，可得2b•（-1）=1，∴b=-$\frac{1}{2}$．
∵f（n）=n2+2bn=n2-n=n（n-1），∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
故數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為Sn =0+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n}$，
∴S2011=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（1，λ），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　　）
A．（-∞，-2）∪（-2，$\frac{1}{2}$）B．（$\frac{1}{2}$，+∞）C．（-2，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）D．（-∞，$\frac{1}{2}$）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．函數(shù)$y=2sin（\frac{π}{3}-x）-cos（\frac{π}{6}+x）（0≤x≤π）$的值域是（　　）
A．$[-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$B．[-1，1]C．$[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$D．$[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．已知函數(shù)f（x）=x3-$\frac{1}{2}$x2-2x+c
（1）當(dāng)c=1時(shí)，求y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若當(dāng)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-5|．
（1）若不等式f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．函數(shù)y=sin2x+cos2x在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2）
（1）求函數(shù)的解析式．
（2）求f（1），f（8）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．下列命題錯(cuò)誤的是（　�。�
A．命題“若x2+y2=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個(gè)不為0則x2+y2≠0”．
B．若命題$p：?{x_0}∈R，x_0^2-{x_0}+1≤0$，則?p：?x∈R，x2-x+1＞0．
C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件．
D．?φ∈R，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知$f（x）=2sinx•cos（{x+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求$f（{-\frac{π}{4}}）$的值；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的值域．

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