Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-5|．
（1）若不等式f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

分析 （1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|a-5|≥3，解出即可；（2）將a=2的值代入，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于關(guān)于x的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由于f（x）=|x-a|+|x-5|≥|a-5|，
所以f（x）≥3?|a-5|≥3，
解得a≤2或a≥8．（5分）
（2）$f（x）=|x-2|+|x-5|=\left\{{\begin{array}{l}{7-2x，x＜2}\\{3，2≤x≤5}\\{2x-7，x＞5}\end{array}}\right.$，
原不等式等價(jià)于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜2}\\{7-2x≥{x^2}-8x+15}\end{array}}\right.$，
或$\left\{{\begin{array}{l}{2≤x≤5}\\{3≥{x^2}-8x+15}\end{array}}\right.$，
或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞5}\\{2x-7≥{x^2}-8x+15}\end{array}}\right.$
解得$2≤x≤5+\sqrt{3}$，
原不等式解集為$\{x|2≤x≤5+\sqrt{3}\}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．