Question

20．如圖，P是⊙O的直徑CB的延長線上的點，PA與⊙O相切于點A，點D在⊙O上，∠BAD=∠APC，BC=40，PB=5
（Ⅰ）求證：tan∠ABC=3；
（Ⅱ）求AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，利用切割線定理求PA，證明△ACP∽△BAP，即可證明tan∠ABC=3；
（Ⅱ）連接BD，證明△ACP∽△BDA，可得AD=$\frac{AB•PC}{AP}$=3AB，結(jié)合勾股定理，即可求AD的值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，
∵P是⊙O的直徑CB的延長線上的點，PA與⊙O相切于點A，
∴PA²=PB•PC=PB（PB+BC）=225，
∴PA=15，
在△ACP和△BAP中，∵∠ACP=∠BAP，∠APC=∠BPA，
∴△ACP∽△BAP，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{BP}$=3，
∵AC⊥AB，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=3；
（Ⅱ）解：連接BD，則
在△ACP與△BDA中，
∵∠ACP=∠BDA，∠APC=∠BAD，
∴△ACP∽△BDA，
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{AB}{AP}$，
∴AD=$\frac{AB•PC}{AP}$=3AB，
∵AC⊥AB，$\frac{AC}{AB}$=3，
∴AC²+AB²=BC²=1600，
∴AB=4$\sqrt{10}$，
∴AD=12$\sqrt{10}$．

點評 本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．