Question

13．已知動點P（x，y）與定點F（1，0）滿足條件：以PF為直徑的圓恒與縱軸相切．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設A，B是軌跡C上的兩點，已知點M（-1，m）滿足MA⊥MB，求△MAB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用動點P（x，y）與定點F（1，0）滿足條件：以PF為直徑的圓恒與縱軸相切，建立方程，即可求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=ky+b，與y²=4x，聯(lián)立消去y得y²-4ky-4b=0，利用韋達定理，結合MA⊥MB，確定b=1，k=$\frac{1}{2}m$，再表示出面積，即可求△MAB的面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，動點P（x，y）與定點F（1，0）滿足條件：以PF為直徑的圓恒與縱軸相切，
∴x+1=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡可得y²=4x，即為動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=ky+b，與y²=4x，聯(lián)立消去y得y²-4ky-4b=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4b，
由MA⊥MB得（x₁+1，y₁-m）•（x₂+1，y₂-m）=0，
∴（b-1）²+（2k-m）²=0
∴b=1，k=$\frac{1}{2}m$，
∴x=$\frac{1}{2}$my+1，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}{m}^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}+16}$=m²+4，
點M（-1，m）到直線的距離d=$\frac{|-2-\frac{1}{2}{m}^{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{m}^{2}}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$
△MAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB||d|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{m}^{2}+4）^{3}}$
∴m=0，△MAB的面積的最小值為4．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．