Question

5．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，且對(duì)任意的x，y∈R，恒有f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（x-2）≥f（8）的解集為（　　）

• A． （2，4]
• B． [-2，4]
• C． [4，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，根據(jù)條件確定滿足條件的函數(shù)解不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：取0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）+f（x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
則不等式式f（x）+f（x-2）≥f（8）等價(jià)為式f[x（x-2）]≥f（8），
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{{x}^{2}-2x≤8}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞2}\\{-2≤x≤4}\end{array}\right.$，解得2＜x≤4，
即不等式的解集為（2，4]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，以及抽象函數(shù)的求值，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和單調(diào)性的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．