Question

4．已知命題p：“?x₀∈{|x|-1＜x＜1}，${x}_{0}^{2}$-x₀-m=0（m∈R）”是真命題，設(shè)實(shí)數(shù)m的取值集合為M．
（1）求集合M；
（2）設(shè)關(guān)于x的不等式（x-a）（x+a-2）＜0（a∈R）的解集為N，若“x∈N”是“x∈M”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真命題，利用參數(shù)分類法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可求集合M；
（2）若x∈N是x∈M的必要條件，則M⊆N分類討論①當(dāng)a＞2-a即a＞1時(shí)，N={x|2-a＜x＜a}，②當(dāng)a＜2-a即a＜1時(shí)，N={x|a＜x＜2-a}，③當(dāng)a=2-a即a=1時(shí)，N=∅三種情況進(jìn)行求解

解答 解：（1）若命題p是真命題，則由${x}_{0}^{2}$-x₀-m=0得m=${x}_{0}^{2}$-x₀=（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵-1＜x₀＜1，
∴當(dāng)x₀=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x₀=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值2，
則-$\frac{1}{4}$≤m＜2，
即集合M=[-$\frac{1}{4}$，0）；
（2）若x∈N是x∈M的必要條件，則M⊆N
①當(dāng)a＞2-a即a＞1時(shí)，N={x|2-a＜x＜a}，則$\left\{\begin{array}{l}{2-a＜-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\\{a＞1}\end{array}\right.$即$a＞\frac{9}{4}$
②當(dāng)a＜2-a即a＜1時(shí)，N={x|a＜x＜2-a}，則$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a＜-\frac{1}{4}}\\{2-a≥2}\end{array}\right.$即$a＜-\frac{1}{4}$
③當(dāng)a=2-a即a=1時(shí)，N=∅，此時(shí)不滿足條件
綜上可得$a＞\frac{9}{4}或a＜-\frac{1}{4}$

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求解，集合之間包含關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．