Question

9．函數(shù)y=cosx-$\sqrt{3}$sinx在[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z上是減函數(shù)，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]．

Answer 1

分析 由條件利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的減區(qū)間；當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)y的值域．

解答 解：函數(shù)y=cosx-$\sqrt{3}$sinx=2cos（x+$\frac{π}{3}$），令2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，
求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，2cos（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，2]，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]，
故答案為：[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔助角公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．