Question

20．已知命題p：方程x²+my²=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0在x∈R上恒成立，又p∨q為真，?q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題為真命題的等價(jià)條件，然后根據(jù)復(fù)合命題真假之間的關(guān)系建立條件關(guān)系即可．

解答 解：∵p∨q為真，?q為真，
∴q為假命題，p是真命題，
若方程x²+my²=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
則等價(jià)為方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{m}}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
即$\frac{2}{m}$＞2，解得0＜m＜1，即p：0＜m＜1，
不等式4x²+4（m-2）x+1＞0在x∈R上恒成立，
則判別式△=16（m-2）²-16＜0，
即（m-2）²＜1，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3，￢q：m≥3或m≤1，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{m≥3或m≤1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜1，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．