Question

20．已知命題p：方程x²+my²=2表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0在x∈R上恒成立，又p∨q為真，?q為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題為真命題的等價條件，然后根據復合命題真假之間的關系建立條件關系即可．

解答 解：∵p∨q為真，?q為真，
∴q為假命題，p是真命題，
若方程x²+my²=2表示焦點在y軸上的橢圓，
則等價為方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{m}}$=1表示焦點在y軸上的橢圓，
即$\frac{2}{m}$＞2，解得0＜m＜1，即p：0＜m＜1，
不等式4x²+4（m-2）x+1＞0在x∈R上恒成立，
則判別式△=16（m-2）²-16＜0，
即（m-2）²＜1，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3，￢q：m≥3或m≤1，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{m≥3或m≤1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜1，
即實數m的取值范圍是（0，1）．

點評 本題主要考查復合命題的真假關系的判斷和應用，根據條件求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．