Question

17．在平面直角坐標系xoy中，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點A（4，m）在拋物線上，且|AF|=5．
（1）求拋物線的標準方程．
（2）是否存在直線l，使l過點（0，1），并與拋物線交于B，C兩點，且滿足$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點A（4，m）在拋物線上，且|AF|=5，求出p，即可求出拋物線的標準方程；
（2）對“是否存在性”問題，先假設存在，設直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合根的判別式求出k的范圍，再利用向量垂直求出k值，看它們之間是否矛盾，沒有矛盾就存在，否則不存在．

解答 解：（1）∵點A（4，m）在拋物線上，且|AF|=5，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴拋物線的標準方程為y²=4x；
（2）由題可設直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0），
代入拋物線方程得y²-4ky+4k=0；△=16k²-16k＞0⇒k＜0ork＞1，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k，
由$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）y₁y₂-k²（y₁+y₂）+k²=0，
解得k=-4或k=0（舍去），
∴直線l存在，其方程為x+4y-4=0．

點評 本小題主要考查曲線與方程，直線和拋物線等基礎知識，以及求解存在性問題的基本技能和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．