Question

13．已知直線l₁：2x-（a-1）y+1=0，l₂：2ax+（a+1）y+a=0（a∈R）．
（1）若直線l₁的傾斜角是直線l₂的傾斜角的一半，求a值；
（2）若直線l₁，l₂與y軸圍成的三角形面積為$\frac{1}{2}$．求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l₁、l₂的方程，討論a的取值，求出直線l₁、l₂的斜率，利用二倍角的正切值列出方程，求出a的值；
（2）求出直線l₁、l₂交點的橫坐標，再求出直線l₁、l₂與y軸交點的縱坐標，寫出直線l₁、l₂與y軸圍成三角形的面積，列出方程求出a的值．

解答 解：（1）直線l₁：2x-（a-1）y+1=0，l₂：2ax+（a+1）y+a=0（a∈R）．
令a-1=0，得a=1，此時直線l₁的傾斜角是$\frac{π}{2}$，
直線l₂的方程為2x+2y+1=0，傾斜角是$\frac{3π}{4}$，不滿足題意；
同理可得a≠-1；
當(dāng)a≠±1時，直線l₁的斜率為k₁=$\frac{2}{a-1}$，直線l₂的斜率為k₂=-$\frac{2a}{a+1}$；
由題意，k₂=$\frac{{2k}_{1}}{1{{-k}_{1}}^{2}}$，
即-$\frac{2a}{a+1}$=$\frac{2×\frac{2}{a-1}}{1{-（\frac{2}{a-1}）}^{2}}$，
化簡得a²-a-2=0，
解得a=2或a=-1（不合題意，舍去），
所以a的值為2；
（2）由l₁、l₂組成方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-（a-1）y+1=0}\\{2ax+（a+1）y+a=0}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{1}{2}$；
又直線l₁與y軸的交點為（0，$\frac{1}{a-1}$），
直線l₂與y軸的交點為（0，-$\frac{a}{a+1}$），
所以直線l₁、l₂與y軸圍成的三角形面積為
$\frac{1}{2}$×|-$\frac{1}{2}$|×|$\frac{1}{a-1}$+$\frac{a}{a+1}$|=$\frac{1}{2}$，
解得a=±$\sqrt{3}$或a=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了方程組的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．