Question

7．已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為$\frac{\sqrt{2}}{6}$，則球O的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO₁，進(jìn)而求出底面ABC上的高PD，即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，即可求出r，從而解決問(wèn)題．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形
設(shè)球心為O，球的半徑r．過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長(zhǎng)CO₁交球于點(diǎn)D，則PD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∴高PD=2OO₁=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱錐P-ABC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴r=1．則球O的表面積為4π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P到面ABC的距離．