Question

10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，則不等式$\frac{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}{2}$＜f（1）的解集為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，e）
• C． （$\frac{1}{e}$，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）為定義在R上的奇函數(shù)便可得到$f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）=2f（lnx）$，從而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），進(jìn)一步便得到f（-1）＜f（lnx）＜f（1），可以說(shuō)明f（x）在R上單調(diào)遞增，從而便得到-1＜lnx＜1，這樣便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）為定義在R上的奇函數(shù)；
∴$f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）=f（lnx）+f（-ln\frac{1}{x}）$=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；
∴由$\frac{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}{2}＜f（1）$得，|f（lnx）|＜f（1）；
∴-f（1）＜f（lnx）＜f（1）；
即f（-1）＜f（lnx）＜f（1）；
又f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
∴-1＜lnx＜1；
∴$\frac{1}{e}＜x＜e$；
∴原不等式的解集為$（\frac{1}{e}，e）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及絕對(duì)值不等式的解法，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性特點(diǎn)，以及增函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．