Question

14．已知函數(shù)f（x）=log_0.5（1+2^x+4^x•a），當x∈（-∞，1]時，f（x）有意義，則實數(shù)α的值的集合為{a|a≥-2}，當f（x）的定義域為（-∞，1]時，則實數(shù)α的值的集合為{a|a≥-2}．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）在x∈（-∞，1]時有意義，得出1+2^x+4^x•a＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，求出a的取值范圍即可；
（2）當f（x）的定義域為（-∞，1]時，1+2^x+4^x•a＞0恒成立，從而求出a的取值集合．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_0.5（1+2^x+4^x•a），且當x∈（-∞，1]時，f（x）有意義，
∴1+2^x+4^x•a＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-${（\frac{1}{4}）}^{x}$-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在x∈（-∞，1]上恒成立；
設t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，且x∈（-∞，1]，則t≥$\frac{1}{2}$，
則函數(shù)g（t）=-t²-t≤-2；
∴實數(shù)α的值的集合為{a|≥-2}；
（2）當f（x）的定義域為（-∞，1]時，1+2^x+4^x•a＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-${（\frac{1}{4}）}^{x}$-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在x∈（-∞，1]上恒成立；
設t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，且x∈（-∞，1]，則t≥$\frac{1}{2}$，
則函數(shù)g（t）=-t²-t≤-2；
∴實數(shù)α的值的集合為{a|≥-2}．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了換元法與轉化思想的應用問題，是基礎題目．