Question

17．對于一組向量$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*），令$\overrightarrow{{S}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$，如果存在$\overrightarrow{a_p}$（p∈{1，2，3…，n}），使得|$\overrightarrow{{a}_{P}}$|≥|$\overrightarrow{{S}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{P}}$|，那么稱$\overrightarrow{a_p}$是該向量組的“h向量”；
（1）設(shè)$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（n，n+x）（n∈N^*），若$\overrightarrow{a_3}$是向量組$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$的“h向量”，求x的范圍；
（2）若$\overrightarrow{a_n}=（{（\frac{1}{3}）^{n-1}}，{（-1）^n}）$（n∈N^*），向量組$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*）是否存在“h向量”？
給出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$|，運用向量的坐標運算和模的公式，解不等式即可得到所求范圍；
（2）$\overrightarrow{a_1}$是“h向量”．求得向量$\overrightarrow{a_1}$的模，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，運用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得，|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$|，又$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（n，n+x），
即為$\sqrt{9+（x+3）^{2}}$≥$\sqrt{9+（2x+3）^{2}}$，
解得-2≤x≤0，
即x的范圍是[-2，0]；
（2）$\overrightarrow{a_1}$是“h向量”．
理由：$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，-1），|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|=$\sqrt{2}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$，0）=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$，0），
0≤$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$，即有|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{2}$，
即|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|＞|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|；
當(dāng)n為偶數(shù)時，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$，1）=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$，1），
0≤$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$，即有|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}）^{2}+{1}^{2}}$＜$\sqrt{\frac{5}{4}}$＜$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{{a}_{1}}$|＞|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|．
綜上可得，$\overrightarrow{a_1}$是向量組$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*）的“h向量”．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查向量的模的公式的運用，以及等比數(shù)列的求和公式的運用，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．