Question

12．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4及圓內(nèi)一點P（2，5）．
（1）求過P點的弦中，弦長最短的弦所在的直線方程；
（2）求過點M（5，0）與圓C相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）過P點且與CP垂直的弦長最短，由此能求出點的弦中，弦長最短的弦所在的直線方程．
（Ⅱ）當直線垂直x軸時，直線x=5與圓C相切，當直線不垂直x軸時，設(shè)直線方程kx-y-5k=0，由圓心C到直線的距離等于半徑，能求出切線方程．

解答 解：（1）∵圓C：（x-3）²+（y-4）²=4及圓內(nèi)一點P（2，5），
∴由題意，過P點且與CP垂直的弦長最短，（1分）
∵圓心C點坐標為（3，4），∴${k_{PC}}=\frac{4-5}{3-2}=-1$，（3分）
∴所求直線的斜率k=1，代入點斜式方程，（4分）
得y-5=x-2，即x-y+3=0．
∴P點的弦中，弦長最短的弦所在的直線方程為x-y+3=0．（6分）
（Ⅱ）當直線垂直x軸時，即x=5，圓心C到直線的距離為2，此時直線x=5與圓C相切，（8分）
當直線不垂直x軸時，設(shè)直線方程為y=k（x-5），即kx-y-5k=0，
圓心C到直線的距離$d=\frac{|3k-4-5k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$（10分）
解得$k=-\frac{3}{4}$，
∴所求切線方程為3x+4y-15=0，或x=5．（12分）

點評 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．