Question

11．已知a＞0，且a≠1，試討論函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$的單調(diào)性．

Answer 1

分析 利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：設(shè)t=x²+6x+17，則函數(shù)等價(jià)為y=a^t，
t=x²+6x+17的對(duì)稱軸為x=-3，
若a＞1，則y=a^t，為增函數(shù)，
當(dāng)x≥-3時(shí)，t=x²+6x+17為增函數(shù)，此時(shí)y=a^t，為增函數(shù)，即函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$為增函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-3，+∞），
當(dāng)x≤-3時(shí)，t=x²+6x+17為減函數(shù)，此時(shí)y=a^t，為增函數(shù)，即函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-3]．
若0＜a＜1，則y=a^t，為減函數(shù)，
當(dāng)x≥-3時(shí)，t=x²+6x+17為增函數(shù)，此時(shí)y=a^t，為減函數(shù)，即函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-3，+∞），
當(dāng)x≤-3時(shí)，t=x²+6x+17為減函數(shù)，此時(shí)y=a^t，為減函數(shù)，即函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$為增函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．