Question

8．給出下列四個命題：
①當(dāng)x＞0且x≠1時，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②△ABC中，sinA＞sinB當(dāng)且僅當(dāng)A＞B；
③已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃；
④函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確命題的序號為②③．

Answer 1

分析 通過特例判斷①的正誤；
②由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得結(jié)論；
③利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得結(jié)論；
④由于函數(shù)y=f（1+x）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象左移一個單位得到，函數(shù)y=f（1-x）=f（-（x-1））圖象可由y=f（-x）的圖象右移一個單位得到，而函數(shù)y=f（x）和y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，易得函數(shù)y=f（1+x）和y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱．

解答 解：對于①當(dāng)x＞0且x≠1時，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$≥2，不正確，例如x=$\frac{1}{2}$，左側(cè)是負數(shù)，不正確；
②若sinA＞sinB成立，由正弦定理可得a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，
因為a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要條件，正確；
③∵S₇＞S₅，∴a₆+a₇＞0，S₉-S₃=a₉+a₈+a₇+a₆+a₅+a₄，∵{a_n}是等差數(shù)列∴a₉+a₈，a₇+a₆，a₅+a₄也為等差數(shù)列，且三者之和為2（a₇+a₆）＞0，∴正確；
④由于函數(shù)y=f（x）和y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，函數(shù)y=f（1+x）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象左移一個單位得到，函數(shù)y=f（1-x）=f（-（x-1））圖象可由y=f（-x）的圖象右移一個單位得到，∴函數(shù)y=f（1+x）和y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱．
正確命題的序號為②③．
故答案為：②③

點評 本題考查基本不等式，正弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，圖象的對稱性，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．